Элементарная математика. Геометрия.

Задача

Квадрат со стороной $a$ вписан в окружность. Найдите сторону квадрата, вписанного в один из полученных сегментов.

Решение:

Для того, чтобы правильно решить задачу необходимо правильно построить чертеж. Для начала строим квадрат $ABCD$ со стороной $a$, вписанный в окружность с центром в точке $O$. В одном из полученных сегментов строим квадрат $FGHI$. В квадрате $FGHI$ обозначим сторону через $x$. Построим два отрезка $OI$ и $OH$. В полученном треугольнике $OIH$ проведем биссектрису $OJ$. Она же является медианой и высотой. Получим два прямоугольных треугольника $\triangle OJI$ и $\triangle OHJ$ с катетами $\frac{x}{2}$, $\frac{x}{2}+x$ и гипотенузой, равной радиусу $\frac{a\cdot \sqr{2}}{2}$. Применим теорему Пифагора. Получим $5x^2+4ax-a^2=0$. Решаем получившееся квадратное уравнение. Находим корни $x=-a$ и $x= \frac{a}{5}$. Очевидно, что ответом является положительное значение $x= \frac{a}{5}$.

Ответ:

$x= \frac{a}{5}$.